Comment calculer de tête vos côtes au poker

20 Mai 2013

Savoir calculer vos cotes sur un coup est essentiel pour que vous puissiez prendre des décisions qui à long terme vous assureront d'avoir une espérance de gains positive.

Il existe trois sortent de cotes :

  • Les cotes explicites (a une situation complètement déterminée, est ce rentable de miser sachant que je connais toute l'information de la situation).
  • Les cotes implicites (est ce rentable de miser sachant que je peux estimer ce que je pourrais soutirer à mon adversaire au dernier tour d'enchères (les jeux ayant fini d'être déterminés), alors que mon adversaire est perdant mais va tout de même suivre mon ultime relance).
  • Les cotes contre-implicites (est ce rentable de miser sachant que je peux estimer ce que je pourrais donner à mon adversaire au dernier tour d'enchères (les jeux ayant fini d'être déterminés), alors que je suis finalement perdant et que je vais tout de même suivre l'ultime relance de mon adversaire).

A. Les cotes explicites :

Prenons un exemple simple, un jeu de dé à 6 faces.
Si le résultat de mon jet de dé est 1, 2 ou 3 je gagne 1$, et si le résultat est 4, 5 ou 6 je perds 1$, alors mon espérance de gain est nulle. En moyenne, sur 6 lancés de dé, je vais gagner 3 fois 1$ et perde 3 fois 1$, donc au total je gagne 0$. Je ne perds pas d'argent à jouer à ce jeux donc j'ai les cotes (par contre je ne  gagne pas non plus d'argent.. ce jeu n'a finalement aucun d'intérêt)
Par contre si la règle du jeu change et que si le résultat est 1, 2, 3 ou 4 je gagne 1$, et que si le résultat est 5 ou 6 je perds 3$, alors je n'ai plus les cotes. En effet, en moyenne sur 6 jets, je vais gagner 4 fois 1$ et perdre 2 fois 3$ soit un total de 4 - (2x3) = -2$. Mon espérance de gain sur chaque coup est donc de -2/6 = -0.33$, qui est négatif donc je n'ai pas les cotes.

On comprend donc que si l'on est face à un seul et unique adversaire, s'il mise 1$ qu'il vous donnera quand il perd et que vous lui devrez quand il gagne, il vous faut au moins 50% de chance de gagner pour avoir les cotes.
En effet, imaginons que vous ayez 65% de chance de gagner, en moyenne, sur 100 coups vous gagnerez 65 fois 1$ et perdons 35 fois 1$ soit un total de 65 - 35 = 30$. Notre espérance est donc de 30/100 = 0.3$ qui est positif.

Compliquons un peu la situation.
Imaginons maintenant une situation au poker où vous avez 40% de chances de gagner et 60% de perdre contre votre unique adversaire.
Le pot est déjà de 80$.
Votre adversaire mise 90$.
Avez vous les cotes pour suivre ?
Votre espérance est de 0.40 x (80 + 90) - 0.60 x (90) = 14$ par coup.
Votre espérance de gain est positive et vous avez donc les cotes pour suivre.
Le fait que vous aviez moins de 50% de chance de gagner contre votre unique adversaire est contre-balancé par le fait qu'il y a l'argent du pot à récupérer.

Compliquons un peu la situation.
Imaginons maintenant une situation au poker où vous avez 25% de chances de gagner, 15% de partager et 60% de perdre  contre votre unique adversaire.
Le pot est déjà de 80$.
Votre adversaire mise 90$.
Avez vous les cotes pour suivre ?
Votre espérance est de 0.25 x (80 + 90) + 0.15 x (80/2) - 0.60 x (90) = -5.5$ par coup.
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas les cotes pour suivre.
Vous aviez toujours 40% de ne pas perdre, mais on voit maintenant l'importance de la répartition du pourcentage entre victoire seul et partage en comparaison de l'exemple précédent.

Compliquons encore un peu la situation.
Imaginons maintenant une situation au poker où vous êtes face à 2 adversaires.
Le pot est déjà de 80$.
Le joueur A mise 90$.
Vous estimez que vous avez 40% de chance de battre A si vous êtes seul contre lui.
Vous estimez d'autre part que si vous suivez cette mise, le joueur B se couchera dans 35% des cas, suivra dans 65% des cas et relancera dans 0% des cas.
Vous estimez également que si le joueur B rentre également dans le coup, vous n'avez plus que 22% de gagner simultanément A et B.
Avez vous les cotes pour suivre ?
Votre espérance est de 0.35 x [0.40 x (80 + 90) - 0.60x (90)]  + 0.65 x [0.22 x (80 + 90 + 90) - 0.78x (90)] = -3.55$ par coup.
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas les cotes pour suivre.

B. Les cotes implicites :

Examinons maintenant de plus prêt la situation suivante :
Vous êtes à une table de Texas Hold'em de 10 joueurs, en position de Big-Blind, la hauteur des blinds étant 1-2$.
Les 8 adversaires suivent les 2$ et le Small-Blind complète 1$ également. Il y a donc 20$ au pot.
Le flop (3ières cartes du tableau) se retourne. le Small-Blind check, vous checkez, le joueur après vous mise 20$, tous les autres joueurs se couchent et vous vous retrouvez donc en duel face à l'ouvreur.
Vous estimez que vous avez 33.33% de chance (une sur 3) gagner contre lui vu le flop.
Votre espérance est de 1/3 x (20 + 20) - 2/3 x (20) = 0 qui n'est pas négatif, donc vous vous dites que vous avez les cotes pour suivre et donc suivez de 20$. Le pot est alors de 60$.
La turn est retournée. Votre adversaire mise 60$.
Vous estimez que vous avez 33.33% de chance (une sur 3) gagner contre lui vu les 4 cartes du tableau.
Votre espérance est de 1/3 x (60 + 60) - 2/3 x (60) = 0 qui n'est pas négatif, donc vous vous dites que vous avez les cotes pour suivre et donc suivez de 60$. Le pot est alors de 180$.
Examinons la situation sous un autre angle. Faisons le bilan des mises.
Au final vous avez misé 2 + 20 + 60 = 82$ face à un unique adversaire pour gagner 180 - 82 = 98$, et cela en ayant tout du long 33.33% de le battre.
Au final votre espérance était de 1/3 x (98) - 2/3 x (82) = -22$ qui est bien négatif, donc vous n'auriez jamais du suivre ce coup.
D'où vient cette apparente incohérence ?
Cela vient du fait qu'il y a plusieurs tour d'enchères et qu'il faut estimer la somme total que va vous demander notre adversaire pour tous les tours d'enchères à venir.
Au flop si notre adversaire mise 7$ et que vous estimez qu'il y a 10% de chance qu'il checke (et vous checker aussi), 55% de chances qu'il mise 8$ à la turn et 35% qu'il mise 19$ qu'elles sont vos cotes ?
Pour les 10% où il checkera, le pot total sera de 20 + (7 + 7) = 34$ ou vous aurez misé 2 + 7 = 9$ pour en gagner 34 - 9 = 25$
Pour les 55% où il misera 8$, le pot total sera de 20 + (7 + 7) + (8 + 8) = 50$ ou vous aurez misé 2 + 7 + 8 = 17$ pour en gagner 50 - 17 = 33$
Pour les 35% où il misera 19$, le pot total sera de 20 + (7 + 7) + (19 + 19) = 72$ ou vous aurez misé 2 + 7 + 19 = 28$ pour en gagner 72 - 28 = 44$
En moyenne vous aurez donc misé 0.10 x 9 + 0.55 x 17 + 0.35 x 28 = 20.05$ pour en gagner 0.10 x 25 + 0.55 x 33 + 0.35 x 44 = 36.05$
Votre espérance est de 1/3 x (20.05) - 2/3 x (36.05) = -17.35$ qui est négatif donc vous n'aviez pas les cotes pour suivre un tel coup.

Mais vous allez me dire que nous n'avons pas tenu compte du 4ième et dernier tour d'enchères. Et vous avez complètement raison. C'est lui qui fait intervenir les cotes implicites. Il faut tenir compte du fait que vous pouvez soutirer des sous à notre adversaire une fois les jeux déterminés.
Deux cas de figures se produisent :
1) soit au final votre jeu est gagnant par rapport à celui de votre adversaire, et par une dernière mise de X$ vous allez pouvoir gagner X nouveaux $.
2) soit au final votre jeu est perdant par rapport à celui de votre adversaire, mais vous allez tenter un bluff qui parfois couchera votre adversaire et cela vous permettra d'empocher le pot.

Examinons maintenant de plus prêt la situation suivante :
Vous êtes à une table de Texas Hold'em et vous retrouvez face à un unique adversaire.
Le pot est déjà de 80$.
4 cartes du tableau sont déjà retournées. Il reste donc 2 tours d'enchères.
Vous estimez que vous avez 40% de chances de battre votre adversaire (si vous touchez votre tirage sur cette 5ième carte à venir)
Le joueur A mise 190$.
Avez vous les cotes explicites ?
Votre espérance est de 0.40 x (80 + 190) - 0.60 x (190) = -6$ par coup.
Votre espérance de gain est négative et vous n'avez donc pas les cotes explicites pour suivre.
Mais tenez compte des cotes implicites.
Dans 40% des cas vous allez pouvoir tenté de soutirer de l'argent à votre adversaire, bien que les jeux soient totalement déterminés et qu'il soit perdant.
Vous estimez que lorsque votre jeux sera gagnant, votre adversaire payerait votre ultime ouverture de 20$ dans 35% des cas, qu'il payerait une ouverture de 70$ dans 18% des cas et que dans les 47 derniers pour cents des cas il se coucherait quelque soit votre ouverture.
D'une part vaut il mieux miser 20$ ou 70$ ?
La réponse est 70$ car dans le 1er cas en moyenne il vous donnera 20x 0.35 = 7$ qui est inférieur à 70 x 0.18 = 12.6$.
Vous allez donc pouvoir compter sur les cotes implicites dans 40% des cas quand vous aurez touché votre tirage.
Votre espérance totale est donc, grâce à ce dernier tour d'enchères, de -6 + 0.40 x 12.6 = -0.96$ qui est toujours négatif.
Si après ce calcul votre espérance avait été positive, il aurait été rentable de suivre le coup que votre tirage tombe ou ne tombe pas à la 5ième et dernière carte.
Mais n'oubliez pas de prendre en compte les cotes implicites que vous apporte un éventuel bluf que vous pourrez utiliser dans les 60% des cas où votre tirage ne rentre pas.
Vous estimez que vous tenterez de bluffer dans 35% des cas.
Le pot est alors de 80 + 190 +190 = 460$.
Vous choisissez de miser X$ pour votre bluff.
2 cas élémentaires sont possibles :
a) vous êtes le 1er à parler et :
i) vous tenterez le 1er votre bluff de X$ : vous gagnerez 460$ quand cela marchera.
ii) vous checker, votre adversaire check : vous n'avez pas pu bluffer et perdez donc le coup.
iii) vous checker, votre adversaire mise Y$, vous tentez votre bluff de X$ + Y$ : vous gagnerez 460$ + Y$ quand cela marchera.
b) vous êtes le 2ième à parler et :
i) votre adversaire check, vous tentez votre bluff de X$ : vous gagnerez 460$ quand cela marchera.
ii) votre adversaire mise Y$, vous tentez votre bluff de X$ + Y$ : vous gagnerez 460$ + Y$ quand cela marchera.
Vous estimez de plus que votre bluff marchera dans 55% des cas et ne passera donc pas dans 45% des cas.
Vous choisissez que votre bluff de X$ sera effectivement de 500$.

Cas a)
Vous estimez la probabilité de i) à 70%, de ii) à 10%, de iii) à 20% avec Y$ = 230$.
Votre espérance est de -0.96 + 0.60 x [ 0.35 x (0.55 x (0.70 x 460 + 0.10 x 0 + 0.20 x (460 + 230))  - (0.45 x (0.70 x 500 + 0.10 x 0 + 0.20 x (500 + 230)))) ] = 5.298$.
Votre espérance de gain est au final positive et vous avez donc les cotes pour suivre, que votre tirage tombe ou ne tombe pas (si vous misez 70% lorsque votre tirage tombe, et tentez un bluff de X$ ou X$ +Y$ dans 35% des cas où votre tirage ne tombe pas).

Cas b)
Vous estimez la probabilité de i) à 70%, ii) à 30% avec Y$ = 230$.
Votre espérance est de -0.96 + 0.60 x [ 0.35 x (0.55 x (0.70 x 460 + 0.30 x (460 + 230))  - (0.45 x (0.70 x 500 + 0.30 x (500 + 230)))) ] = 6.369$.
Votre espérance de gain est au final positive et vous avez donc les cotes pour suivre, que votre tirage tombe ou ne tombe pas (si vous misez 70% lorsque votre tirage tombe, et tentez un bluff de X$ ou X$ +Y$ dans 35% des cas où votre tirage ne tombe pas).

Remarquez que notre analyse s'arrête à un certain niveau et nous n'avons pas pris en compte les cas :
- vous bluffez, votre adversaire vous relance, vous re-bluffez et gagnez le coup
- vous bluffez, votre adversaire vous relance, vous re-bluffez, il re-relance, vous re-re-bluffez et gagnez le coup...
mais cela n'a pas beaucoup d'importance car ces situations sont très improbables et nécessiterait de jouer avec de très gros tapis ce qui est rarement le cas.

De plus notez que, pour le cas b) par exemple, depuis la 4ieme carte ou votre décision doit être prise de suivre les 190$, vous allez miser en moyenne 190 + 0.40 x 70 + 0.60 x 0.35 x [0.70 x 500 + 0.3 x (500 + 230)] = 337.49$ pour en gagner en moyenne 6.369$, ce qui fait un retour sur investissement ROI de 6.369 / 337.49 soit environ 0.02 ce qui est très faible. Suivre ce genre de coup créera beaucoup de variance dans vos résultats.

C. Les cotes contre-implicites :

Les cotes implicites ne fonctionnent malheureusement pas que pour vous, mais aussi pour votre adversaire qui en possède également. Ses cotes implicites correspondent à vos cotes contre-implicites.
Deux cas de figures se produisent donc par réciproque :
1') soit au final votre jeu est gagnant par rapport à celui de votre adversaire, mais votre adversaire va tenter un bluff qui parfois vous couchera et lui permettra d'empocher le pot.
2') soit au final votre jeu est perdant par rapport à celui de votre adversaire, et par une dernière mise de X$ que vous allez suivre, votre adversaire va pouvoir gagner X nouveaux $.

Examinons maintenant de plus prêt la situation suivante :
Vous êtes à une table de Texas Hold'em et vous retrouvez face à un unique adversaire.
Le pot est déjà de 80$.
4 cartes du tableau sont déjà retournées. Il reste donc 2 tours d'enchères.
Vous estimez que vous avez 40% de chances de battre votre adversaire (si vous touchez votre tirage sur cette 5ième carte à venir).
Le joueur A mise 90$.
Avez vous les cotes explicites ?
Votre espérance est de 0.40 x (80 + 90) - 0.60 x (90) = 14$ par coup.
Apparemment il est profitable de suivre le coup, mais attention, vous n'avez pas tenu compte des cotes contre-implicites.
Le pot après que vous ayez suivi sera de 80 + 90 + 90 = 260$.
Supposons maintenant que lorsque vous avez la main perdante, vous ne tentez jamais de bluffer (pas de cotes implicites cas 2)), et que de plus vous suivrez quand même dans 36% des cas une ouverture de 75$ de votre adversaire (cas 2')).
De plus supposons que quand vous aurez la main gagnante, vous allez miser 130$, mais que votre adversaire se couchera directement dans 65% des cas (pas de cotes implicites cas 1)), soit tentera dans 35% des cas un bluff de 130 + 520$ qui vous couchera dans 85% des cas (cas 1')) où vous perdez donc 130$ de plus, mais où vous remportez donc 130 + 520 = 650$ de plus dans 15% des cas.
Votre espérance est de 14 - 0.60 x 0.36 x 75 - 0.40 x 0.35 x (0.85 x 130 - 0.15 x 650) = -9.02$
Finalement les cotes contre-implicites font qu'il n'est pas rentable pour vous de suivre le coup.

Conclusion :

Nous avons donc compris que les cotes explicites sont améliorées par les cotes implicites, mais sont détériorées par les cotes contre-implicites.
Vu que les cotes implicites et cotes contre-implicites se compensent l'une l'autre et sont, en première approximation, du même ordre de grandeur (si votre adversaire est du même niveau que vous), on comprend qu'un facteur principal de votre décision viendra du calcul des cotes explicites.
Après les cotes seront d'autant plus en votre faveur si :
- vous maximisez vos cotes implicites (1) évaluer au mieux la mise finale que votre adversaire payera perdant, 2) bluffer au mieux au dernier tour d'enchère étant perdant).
- vous diminuez au plus vos cotes contre-implicites (1') éviter de se faire bluffer, 2') éviter de payer perdant).

Nous remarquons également que l'estimation de ses propres cotes et de son espérance dépend de plusieurs estimations de pourcentages :
- du pourcentage de chance d'avoir au final le jeu gagnant alors que vous n'avez qu'une information partielle vu que vous ne connaissez pas le jeu de votre adversaire (cotes explicites : besoin de deviner au mieux le jeu de son adversaire).
- des sommes que votre adversaire va miser à chaque futur tour d'enchères (cotes explicites : besoin de connaître le comportement de son adversaire).
- du pourcentage de chance que votre adversaire suive votre ultime relance lors du dernier tour d'enchères alors que votre jeu est gagnant (cotes implicites : besoin de connaître le comportement de son adversaire).
- du pourcentage de chance que votre adversaire tombe dans votre bluff lors dernier tour d'enchères alors que votre jeu est perdant (cotes implicites : besoin de connaître le comportement de son adversaire).
- du pourcentage de chance que vous suiviez l'ultime relance de votre adversaire lors du dernier tour d'enchères alors que votre jeu est perdant (cotes contre-implicites : besoin de connaître le comportement de son adversaire et son propre comportement).
- du pourcentage de chance que vous tombiez dans le bluff de votre adversaire lors dernier tour d'enchères alors que votre jeu est gagnant (cotes contre-implicites : besoin de connaître le comportement de son adversaire et son propre comportement).

Ces estimations de pourcentages sont difficiles à faire car l'information n'est pas totale (le poker est un jeu d'information partielle à l'inverse par exemple du jeu d'échec où l'information est complète) et font rentrer en jeu une part de psychologie difficile à quantifier.
Le fait que l'espérance soit positive ou négative est de plus très sensible à ces estimations de pourcentages. En effet, une mauvaise estimation de quelques pour cents peut facilement changer une espérance positive en espérance négative.
Le poker n'est donc pas un jeu simple, et c'est l'expérience qui entraîne les joueurs à toujours mieux affiner ces estimations nécessaires au calcul des cotes, pour réaliser quelles situations sont profitables et lesquelles ne le sont pas.

Mais ne soyez pas effrayés de mal jouer un coup en suivant dans une partie où au final vous n'aviez pas les cotes car si en moyenne (pour des sommes misées identiques) vous faites moins souvent de mauvais choix que vos adversaires, vous serez gagnants sur le long terme. Gagner au poker, c'est gagner la bataille des erreurs.

Matthieu LAURENT,  Cette adresse e-mail est protégée contre les robots spammeurs. Vous devez activer le JavaScript pour la visualiser. ,  webmaster de Pokersavoie.

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